百牛定理

文：徐任宏

　

「好無聊喔！」連續假日，怡倩上起課來顯得無精打采、心不在焉的樣子。

「真是的，我這麼認真上課，妳卻在那邊喊無聊！」我故作無奈的口氣說。「這樣吧，說個數學故事給妳聽聽。」

「好好好！」怡倩一聽到我要說故事，馬上坐直了起來，臉上還露出興奮的表情。

「哦，態度變得真快，聽故事就這麼有精神！」

「嘻嘻，被你發現了！」怡倩笑著說。「快講吧！」

「好吧！」我喝了口水，繼續說：「妳聽過『百牛定理』嗎？」

「什麼？！『白牛定理』？我還黑牛、紅牛呢！」

「哎唷，是一百、兩百的百，『百牛定理』！」

「哦∼『百牛定理』呀！沒聽過！」

「那妳『哦』那麼大聲幹嘛？好啦，其實『百牛定理』就是平常所說的『畢氏定理』，妳知道這個定理嗎？」

「我當然知道呀！『畢氏定理』是說：直角三角形斜邊長的平方，剛好等於兩短邊長的平方和（如右圖），對不對呀？」

「答對了！」

「那『畢氏定理』為什麼會叫做『百牛定理』呢？」怡倩相當好奇。

畢氏定理

「呵呵，相傳全世界第一個證明出這個定理的人，是出生於西元前六世紀，開創了畢氏學派的古希臘數學家畢達哥拉斯。當他成功地證明了這個定理之後，感到欣喜若狂，便叫他的學生們宰了一百頭牛，舉辦了一個盛大的宴會，一連慶祝了好幾天。所以，這個定理又被暱稱為『百牛定理』。」我簡單地說明。

「是這樣呀！那畢達哥拉斯是怎麼證明的呢？」怡倩追問。

「有趣的地方就在這裡啦！事實上並沒有任何的歷史文獻，記錄下畢達哥拉斯的證法，而且，真正提出證明的人，很可能也不是他，而是晚期畢氏學派的弟子。另外，世界上第一個發現這個定理的人，也不是畢達哥拉斯喔。」

「啊？那是誰呀？」

「早在畢達哥拉斯之前一千多年，巴比倫人就已經發現這個定理了。比方說他們知道13500﹢12709﹦18541，而這三個數剛好圍成一個直角三角形，只是他們並不知道所有的直角三角形都有這個性質罷了。」

「既然發現和證明的人都不是他，那為什麼還用他的名字取名呀？」

「呵呵，這就叫錦上添花，畢竟畢氏學派對這個定理有所貢獻，加上畢達哥拉斯的名氣大，於是就莫名其妙多了這項榮譽了。」我半開玩笑地說。

「好小子，真是太幸運了！」怡倩發表了評論。「對了！我記得學校的數學老師說過，畢氏定理其實應該叫『勾股定理』或『商高定理』才對呢！」

「沒錯！中國人把直角三角形的三個邊，由短到長分別叫做勾、股、弦，因此，才簡稱『勾股定理』；同時，中國古代有一本書，叫做《周髀算經》，記載了從周代到西漢隨著天文學的研究而累積起來的學術成果。書中紀錄著周公與大夫商高討論數學的故事，裡面商高第一次提出了『勾股定理』，因此，也被稱為『商高定理』。這個故事發生在西元前十一世紀末，可比畢達哥拉斯早了許多唷！」

「原來如此呀！」

「呵呵，妳知道嗎？歷史上關於這個定理的證明，超過四百種方法喔！」

「天啊！有這麼多？」

「嗯，現在我介紹其中三種方法，有兩個是我們中國人想出來的唷！妳先看第一個（如右圖），這是三國時代的數學家趙爽注釋《周髀算經》時所給的證明，他把以弦（斜邊）為邊的正方形面積叫做『弦實』，把四個直角三角形的面積和叫做『朱實』，把中間圍起來的小方塊面積叫做『黃實』，然後利用代數的方法，就得到了所要的結果。」

「嗯，這方法不錯唷！」

（如右圖）

「接下來這個（如下圖），是美國第二十任總統伽菲爾德想出來的，利用梯形面積和三角形面積的關係，也簡潔地得到證明。」

證法（二）

「這個也不賴呢！」

「最後這個（如下圖），是大約和趙爽同時代，發明了『割圓術』求圓周率的數學家劉徽的證明，叫做『出入相補』法，簡單地說，就是剪貼證明法啦！妳看，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來（出），移到以弦為邊的正方形的空白區域內（入），結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題，厲害吧？」

證法（三）

「真不賴呢！沒想到中國古代的數學家挺有兩把刷子的嘛！」

「呵呵，只要努力，妳也不差唷！」