文:徐任宏 「談到質數,就想跟妳講一個自然界裡面非常有趣的事!」我說。 「什麼事啊?」怡倩顯得興致勃勃。
「怎麼會有這種事情?十七年?十三年?天啊!好久唷!」怡倩相當驚訝。 「是呀!妳有沒有發現:十七和十三都是質數?」 「對耶!有什麼特別的原因嗎?」 「科學家曾推測:可能當初蟬有一種寄生物,假設這種寄生物的生命週期是2年,蟬要避開這種寄生物的最好方法,就是避開2的倍數的生命週期;同樣的,如果寄生物的生命週期是3年,那就避開3的倍數。依此類推,蟬的最佳生存策略就是選擇一個質數的生命週期,這樣一來,和寄生物相遇的機率就非常非常小了!」我解釋著。 「太奇妙了吧?!」怡倩驚嘆地說。 「嗯!另一方面,由於質數除了1和本身以外,沒有其他因數,所以將兩個大質數相乘以後,要反過來找出這兩個質數變得相當困難,因此,質數在密碼學上有著相當重要的應用喔!」我說。 「好好玩唷!那質數有幾個呀?」怡倩問。 「呵呵,兩千多年前,古希臘數學家歐幾里得就已經證明了質數有無限多個;而大約同時代的數學家埃拉托斯芬更發明了『篩法』,依次將2的倍數、3的倍數、5的倍數……篩除,最後留下的就是質數。利用這個方法,我們知道10以內有4個質數,100以內有25個,而1000以內有168個。」 「這樣找不是很辛苦嗎?」怡倩質疑。 「是很辛苦呀!所以在歷史上,很多人都努力想找出一個『質數公式』,其中最有名的就是那位可愛的費馬先生。」 「又是他!他找到了嗎?」怡倩笑著問。 「呵呵,他在西元1640年提出了一個公式:『 2+1』,他驗算了n等於1到4的情況,發現都是質數以後(如下表),就直接猜測只要n是自然數,這個公式求出來的一定是質數。」我說。
「他猜對了嗎?」怡倩問。 「呵呵,這次又是總是做苦功的歐拉出馬,發現了費馬老兄的錯誤,原來,只要驗算n=5的情況,就會發現得到的4294967297(=641×6700417)根本不是一個質數。」我笑著說。 「嘿嘿,歐拉做的事還真多!」怡倩說。
「真是賺到了!」怡倩打趣說。 「或許吧!現在的數學家們在質數這個領域裡,有兩個重要的研究方向:一個是利用各種更有效率的篩法,不斷地往更大的數裡面去搜尋質數;另外就是尋找新的『梅森尼質數』。」 「有什麼成果嗎?」 「嗯!到西元1996年為止,數學家已經藉由電腦運算,知道1020以內有多少質數了;另一方面,在西元1999年六月,數學家也發現了第三十八個『梅森尼質數』: 26972593-1,這同時也是到目前為止發現的最大質數喔!它是一個2098960位數,夠嚇人吧!」 「實在太厲害了!沒想到光是質數就有這麼多的學問呀!」 「是啊!所以除了學校教的以外,平時還是要多方面吸收知識唷!」我鼓勵說。 「嗯!」怡倩肯定地點頭。
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